$(x + \sqrt{x^3 - 1})^5 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^5$ के विस्तार में सभी विषम घात वाले पदों के गुणांकों का योग ज्ञात कीजिए,जहाँ $x > 1$.

कथन $(A)$: यदि $a_1, a_2, \ldots, a_n$ समीकरण $x^n-2=0$ के $n$ भिन्न मूल हैं, तो $1+\left(1-a_1\right)\left(1-a_2\right) \ldots\left(1-a_n\right)=0$ है।
कारण $(R)$: यदि $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ समीकरण $f(x) \equiv p_0 x^n+p_1 x^{n-1}+\ldots+p_n=0$ के मूल हैं, तो $f(g(x))=0$ के मूल $g^{-1}(\alpha_i)$ होंगे, जहाँ $i=1, 2, \ldots, n$ है।
निम्नलिखित में से सही विकल्प चुनें:

यदि $f(x) = x^n$ है,तो $f(1) - \frac{f'(1)}{1!} + \frac{f''(1)}{2!} - \frac{f'''(1)}{3!} + ...... + \frac{(-1)^n f^n(1)}{n!}$ का मान क्या है?

व्यंजक $\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }}\left[ {{{\left[ {\frac{{1 + \sqrt {4x + 1} }}{2}} \right]}^7} - {{\left[ {\frac{{1 - \sqrt {4x + 1} }}{2}} \right]}^7}} \right]$,$x$ में कितने घात का बहुपद है?

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $\left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^{4}, x \neq 0$ का विस्तार कीजिए।

मान लीजिए कि $(1 - 2x + 3x^2)^{10} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_n x^n$,जहाँ $a_n \neq 0$ है। तो $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$ का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।